Umpic de… matematica

In ultimele zile m-am uitat la dovezi pentru creationism (conceptul ca lumea e doar de 6000-7000 de ani). Am vazut ca aceasta viziune a lumii are niste divoezi surprinzatoare si este inca un indicator al faptului ca oamenii, indiferent de inteligenta pot gresi. Dar nu am gresit din cauza ca suntem prosti ci din cauza ca am pornit de la o premisa falsa, pe care o credeam corecta. Daca am avea o premisa corecta am da rezultate corecte, iar daca e falsa dam rezultate corecte in functie de acea ipoteza.

Mai stiu cateva greseli ce s-au facut in stiina. De exemplu, in paleontologie, cand scheletul unui iguanodon a fost reconstuit s-a crezut ca el avea un corn. Mai tarziu s-a realizat ca acel corn era un deget de la mana. Se credea ca unele sauropode puteau sa stea complet sub ape. Alta greseala e cea a plasarii gatului la un unghi de aproximativ 90 de grade cu corpul. S-a dovedit mai tarziu ca daca si-ar fi tinut gatul asa si l-ar fi rupt si ca ele nu mancau din copaci inalti ci din plante mai mici, deoarece gatul le era pe orizontala. Se credea ca T-rex era un vanator iscusit, insa dovezile arata ca el era necrofag si ca vana numai atunci cand nu mai putea de foame.

Dar aceste greseli sunt de obicei facute din graba. Uneori in stiinta unele teorii sunt grabite, si isi au forma pe care o au doar pentru ca „ar explica” un fapt. Atunci cand teoria se dovedeste gresita in loc sa se admita greseala se face o alta teorie mai nastrusnica care ar explica greseala primei teorii. De exemplu cometele se consuma in 10000 de ani. Nici o problema exista o teorie care spune ca ele vin din norul Oort care se afla la multi ani lumina departare de sistemul solar. Problema este ca nimeni nu a vazut norul Oort si ca daca doar punem petec peste petec, in loc sa luam o teorie corecta, in final o sa gresim si petecul o sa se rupa. Iar teoriile noastre ar trebui sa fie demonstrate de dovezi, nu sa fie supozitii care „ar explica” de ce teoria cealalta nu se aplica in anumite cazuri. Poate e gresita. Sau poate nu: fizica cuantica arata ca la nivel subatomic legile sunt altele.

Ceea ce m-a enervat la culme este faptul ca persoana care m-a indrumat spre aceste lucruri mi-a spus: „fii atent ca si matematica poate gresi”. Stai umpic. In studiul acestei lumi sunt multi factori de care sa tinem cont. De exemplu in scoala cand studiezi energia cinetica care se transforma in potentiala gravitationala nu tii cont de forta de frecare pentru ca ar ingreuna problema. Deci greselile din stiinta sunt ori din neatentie ori din cauza existentei unui factor (sau mai multi) de care nu s-a tinut cont. Dar matematica e lumea numerelor. Nu exista astfel de factori. Exista doar reguli bine cunoscute: nu se divide cu 0, la infinit multe lucruri se schimba, x^2 (x la patrat) are 2 solutii iar rezultatul lui sqrt(y) (y=x^2) (radical) este in modul: |x|. Deci iata aici cateva exemple de falsuri matematice cu care m-am confruntat:

1) a=b |*b (inmultire cu b)
2) a*b=b^2 |-a^2 (scadem a la puterea a doua)
3) a*b-a^2=b^2-a^2 |factor
4) a*(b-a)=(b-a)*(b+a) | /(b-a)
5) a=b+a
6) a=a+a
7) a=2*a |/a
8) 1=2

Aparent calculele par corecte. Dar pasul 4 e gresit. A nu se imparti cu 0. b-a=0
De ce nu impartim cu 0? E voie sa inmultim cu 0, e voie sa impartim 0 la alt numar dar nu e voie sa fie impartitorul 0. Aceasta mi s-a parut o intrebare stupida dar o sa o explic, frumos, ca la clasa a 3-a:
1) avem voie sa inmultim cu 0. De ce? Pai hai sa luam exemplul de la clasa a 3-a. Am 2 cosuri cu 9 mere. Cate mere am? 18. Bravo! Am 0 cosuri cu 9 mere. Cate mere am? 0.

2) Vreau sa impart 0 mere la 9 oameni. Cate mere am impartit? 0.
3) Am 9 mere pe care vreau sa le impart la 0 oameni. Imposibil! Altfel am zice si noi ca 9/0=2/0 am inmulti cu 0 si 9=2. Inmultirea cu 0 e permisa totusi. Dar nu te ajuta deloc intr-o ecuatie. x=2 |*0 0=0. Cat e x?

A doua problema:
1) -1=-1
2) -1/1=1/-1
3) sqrt(-1/1)=sqrt(1/-1)
4) i/1=1/i (in numerele complexe i e radacina patrata a lui -1, iar i^2=-1)
5) i^2=1
6) -1=1

Gresit! De ce? Nu mi-ai aratat ca intre pasii 3 si 4 mai este un pas: sqrt(-1)/sqrt(1)=sqrt(1)/sqrt(-1). Ei bine sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b) doar daca a, b sunt ambele pozitive sau amblele negative. In plus, chiar daca aceasta operatie e corecta, cum iese un numar de sub radical? In modul! Deci cat e |i|? i este un numar negativ sau pozitiv? Cat e |sqrt(-1)|? Deci daca am trece sa facem pasii in acest fel am avea: |i|*|i|=1 ceea ce cred ca e echivalent cu 1=1. In orice caz nu poti aplica radicalul asa cum a fost aplicat la pasul 4.

Cam toate problemele aratate sunt la fel. Unele folosesc derivate. Cand a vazut ca nu se mai poate asa a luat cea mai simpla si neintelesa axioma matematica 0,(9)=1. unde (9) simbolifica perioada (9 la infinit)

Demonstratie:
1) 1/3=0,(3) | *3 (se inmulteste cu 3)
2) 1=0,(9)

Si i-am zis: „da e adevarat, 0,(9)=1”. Cum asa? Pai in primul rand ce ai facut tu acolo e incorect. Nu ai voie sa inmultesti perioada. Corect e sa convertesi inapoi la fractie si apoi sa aduci numarul iarasi sub forma zecimala. De ce e corect asa? Pai hai sa inmultim 0,(3) cu 7. Da 2,(3)1. De unde vine acel 1 de dupa perioada? e posibil sa ai un 1 dupa perioada? Nu! Toate locurile pe care le putea ocupa el sunt ocupate. Nu mai e loc. 3 la infinit a ocupat deja toate locurile. Hai sa vedem daca am dreptate: 0,(3)=3/9=1/3. Inmultim cu 7 rezultatul e 7/3. 7/3=2,(3). Tocmai am demonstrat ca dupa o infinitate de numere in perioada nu se poate plasa nici un numar si ca operatiile cu perioada sunt invalide. Dar 0,(9)=1. De ce? Pai hai sa vedem.
Metoda reducerii la absurd:
Sa spunem ca 0,(9)!=1 (!= adica nu e egal). Atunci rezulta ca exista x astfel incat 0,(9)+x=1. Hai sa scoatem x. x=0,(0)1. Pai se poate asa ceva? Nu! Tocmai am demonstrat asta. Deci x=0,(0)=0. Deci 0,(9)=1. QED (Quod erat demonstrandum)

Urmatoarea zi: geometrie! A vazut un post pe un site si mi l-a aratat:
Pi=4
Deci 2*pi*r=P (perimetru) P=4. Impartind la 2 si 0,5 (raza) iese ca pi=4, si pi nici macar nu mai ramane constanta ci depinde de raza. Troll de 2000-3000 de ani.

Bun. In primul rand la infinit operatiile se schimba. Asteapta pana in clasa 11 cand o sa ajungi la limite de functii. Lim[n->INF](1/n)=0 (limita cand n tinde la infinit din 1/n). Lim[n->INF]((1+1/n)^n)=e, numarul lui Euler. Ai zice ca stii deja ca 1/n la infinit e 0 deci limita e 1^n=1. Cand colo este e=2,71828183…
Inca lucrez ca sa demonstrez ca figura patratului nu converge la cerc. Dar am demonstrat ca perimetrul cercului este de fapt pi. Cum? Ne folosim de arie! Se poate observa ca din patrat lipsesc cateva piese pana ca aria lui sa devina cerc. Daca pi=4 atunci inmultind r^2 (raza) cu 4 ar rezulta aria patratului in care cercul e inscris, nu aria cercului! Deci cum il aflam pe pi? Imaginea ne da un indiciu: Arhimede. Hai sa luam un cilindru care are un cerc cu raza 0,5 adica diametrul egal cu 1. Il bagam intr-un vas gradat cu apa. Observam care este volumul deslocuit de cilindru: acela e si volumul cilindrului. Notam acest volum cu V (V fiind o valoare numerica cunoscuta). Impartim volumul la inaltimea cilindrului. A=V/h. Tocmai am ramas doar cu aria cercului. Impartim aceasta arie (A) la r^2. Acum am ramas cu un rezultat rez=pi. Va pot asigura ca rez=3.14159265358979323846264338327950288419…
Partea a doua:
Acum vrem sa aflam perimetrul cercului. Stim de mai sus ca pi este corect in cazul ariei, adica ca formula ariei e corecta. Deci facem un cerc mai mic in interiorul cercului mare. Le stim la amandoua cercurile razele. Calculam ariile: A1 (aria cercului mare) si A2 (aria cercului mic). Scadem A2 din A1: A1-A2. Ne-a ramas acolo o simpla figura geometrica. Aceasta o impartim la diferenta dintre raze: r1-r2. Ne-a ramas doar perimetrul celor doua cercuri. Impartim rezultatul la 2 si apoi la r1+r2. (formula perimetrului e 2*pi*r, deci rez=2*pi*(r1+r2), pi fiind o necunoscuta). Acum a ramas un rezultat egal cu pi, iar rezultatul nu va fi in nici un caz 4 (oservati ca am spus 4, nu 4! deoarece un „!” dupa un numar determina factorialul, n!=1*2*3*…*(n-1)*n, deci 4!=24)
Matematic: (:= e operatie de atribuire)
1) rez:=A1-A2
2) rez:=rez/(r1-r2)
NOTA: rez=P1+P2=2*pi*r1+2*pi*r2=2*pi*(r1+r2)
3) rez:=rez/2
4) rez:=rez/(r1-r2)
rez=pi, pi necunoscuta, iar rez va fi 3,14159265…

La a patra problema am avut nevoie de putin ajutor, aici fiind problema rezolvata si inca 2 falsuri matematice:
Patrat lipsa
http://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

Explicatia e simpla. Acela nu e un triunghi, ipotenuza fiind indoita si aparand dreapta ochiunui uman, insa in realitate nefiind asa.
Pentru cei interesati, uitati cateva link-uri cu falsuri matematice, cu care va puteti distra aratandu-le la prieteni pentru a vedea daca gasesc greseala. Dar nu faceti si voi greseala de a le crede adevarate:

http://www.math.toronto.edu/mathnet/falseProofs/
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-304-undergraduate-seminar-in-discrete-mathematics-spring-2006/projects/fallacy_yuan.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacy
http://skullsinthestars.com/2008/12/12/spot-the-math-errors/

NOTA: m-am uitat la aceste link-uri abia dupa ce nu am putut rezolva a 4-a problema (am si eu o limita). Explicatiile de la primele 3 probleme sunt explicatii gandite de mine, si s-ar putea sa fi gresit ceva la problema cu cercul.

Deci eu cred ca stiinta mai face greseli, pentru ca suntem oameni, dar totusi sunt in apararea ei. Trebuie sa admitem faptul ca suntem oameni si ca am putea gresi. Ar trebui ca teoriile stiintifice sa fie mult mai verificate si sa aiba dovezi, nu sa fie facute fara dovezi, predicate la oameni, doar pentru ca „ar putea explica”, altfel stiinta devine si ea o materie nedemonstrata sau pur si simplu o credinta. („pai cred ca asa ar trebui sa fie”).

Insa de partea matematicii sunt intotdeauna, pentru ca este clar ca in lumea numerelor nu prea ai cum sa gresesti, mai ales datorita faptului ca matematicienii s-au straduit sa-si demonstreze teoremele lor, iar astazi ele se pot demonstra cu ajutorul mult mai multor metode. Cat despre creationism si evolutionism, nu stiu exact unde ma situez dar sunt sigur ca aceste debateri intre evolutionisti si creationisti nu-si au rostul. Stiinta va gasi pana la urma raspunsul. Problema e ca evolutionistii spun: „aici sunt dovezile, ce concluzii trebuie sa tragem”, si apoi fac teorii nedemonstrate pentru a arata ca concluzia e corecta, iar creationistii spun: „aici e concluzia, ce dovezi putem gasi pentru ea”. Si s-au gasit dovezi. Acum trebuie puse toate lucrurile cap la cap si sa realizam ce ar trebui sa invatam. Daca nu suntem siguri eu sugerez ca ambele variante sa fie invatate la scoala si copii sa-si poata alege varianta pe care vor sa o demonstreze, pentru ca generatiile viitoare sa stie ambele variante si sa poata gasi adevarul, nu sa mearga doar pe una din variante, deoarece una dintre ele poate fi gresita. Eu sunt in favoarea unui numitor comun, stiind ca evolutia e posibila. Unii creationisti zic si ei asta. Ce ar face Dumnezeu: ar lasa speciile sa moara la schimbari de clima sau sa se adapteze. Raspuns: se adapteaza. Creationistii spun ca se adapteaza dar nu evolueaza in alte specii. Voi scrie un si un articol despre creationism.

“Un motiv pentru care matematica este mai stimată, considerată deasupra tuturor ştiintelor, este că legile ei sunt absolut sigure şi indiscutabile, în timp ce cele ale altor ştiinţe sunt într-o măsură supuse disputelor şi în pericol constant de a fi modificate de către noi descoperiri .” – Albert Einstein

________________________________________________________________

Bun, m-am gandit umpic ieri, nu mult, la problema cu cercul. Acea figura geometrica nu va converge la cerc indiferent cum tai. Ia un triunghi de o latura 3 cm si alta 4 cm. Ipotenuza dupa cum stim e de 5 cm. Daca taiem dupa modelul descris mai sus ipotenuza va fi de 7 cm. Deci se adauga 2 cm, tot asa cum la curba se adauga diferenta dintre 4 si pi.

Volumul sferei: 4/3*pi*r^3. Cat 4 conuri cu baza de aceeasi raza.

Demonstratie aria cercului, stiind perimetrul.

Pentru cei carora le mai place sa invete astfel de lucruri, recomand sa vizionati si alte videoclipuri pe youtube de la minutephysics sau CGP Grey.